Bras articulé d'un robot

D'après bac STI2D/STL, France métropolitaine, septembre 2019.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((\text{O}~;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\), le bras articulé d’un robot, fixé au point \(\text{O}\), est représenté par deux segments \([\text{OA}]\) et \([\text{AB}]\), chacun de longueur \(2\) unités.
Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.

1. a. Tracer un repère orthonormé \((\text{O}~;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\). Placer le point \(\text{A}\) d'affixe \(z_\text{A}=2\text{i}\), puis construire l'extrémité \(\text{B}\) du bras articulé lorsque son affixe \(z_\text{B}\) a pour argument \(\dfrac{\pi}{4}\).
    b. Donner l'affixe du point \(\text{B}\) sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
2. L'extrémité \(\text{B}\) du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de \(4{,}5\) unités du point \(\text{O}\) ?
3. Pour soulever un objet lourd dont le point d’accroche est le point \(\text{C}\) (voir figure ci-dessous), il faut rigidifier l’articulation en \(\text{A}\). On décide alors de bloquer l’angle \((\overrightarrow{\text{AO}},\overrightarrow{\text{AB}})\) tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à \(\dfrac{\pi}{2}\) radians.

    a. Déterminer la distance \(\text{OB}\).
    b. Le point \(\text{C}\) a pour affixe \(z_\text{C}=2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{12}}\). Justifier que l’extrémité \(\text{B}\) du bras articulé pourra atteindre le point d’accroche \(\text{C}\) de l’objet.
    c. Lorsque le bras articulé saisit l’objet, les points \(\text{B}\) et \(\text{C}\) sont confondus. Calculer la mesure de l’angle que forme alors le bras \([\text{OA}]\) avec l'axe \([\text{O}x)\).